\subsection{可达速率域外界}\label{Cha:BC:SISO:OuterBound}
类似于可达速率内界的推导，对于第$ i $个用户，可达速率$ R^{\mathrm{BC,SISO}}_i $的上界为
\begin{subequations}\label{Eqn:BC:SISO:OuterBound:ABG}
    \begin{align}
    R^{\mathrm{BC,SISO}}_i &=\maximize{\left\{f_{X_i}\left(x_i\right) \right\}}{I\left(X_i;Y_i\right)}\\
    &=\maximize{\left\{f_{X_i}\left(x_i\right) \right\}}{h\left(Y_i\right)-h\left(Y_i\vert X_i\right)}\\
    &=\maximize{\left\{f_{X_i}\left(x_i\right) \right\}}{h\left(g_i\sum_{j=1}^{K}X_j+g_i b+Z_i\right)-h\left(g_i\sum_{j=1,j\neq i}^{K}X_j+g_i b+Z_i\right)}\\
    &\leq \frac{1}{2}\log_2 2\pi e \var{g_i\sum_{j=1}^{K}X_j+g_i b+Z_i}\nonumber\\
    &\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad-\minimize{\left\{f_{X_i}\left(x_i\right) \right\}}{\frac{1}{2}\log_2\left(g_i ^2\sum_{j=1,j\neq i}^{K}2^{2 h\left(X_j\right)}+2^{2 h\left(Z_i\right)}\right)}\label{Eqn:BC:SISO:OuterBound:d}\\
    &\leq\frac{1}{2}\log_2{ \left(1+\frac{g_{i}^2\varepsilon}{\sigma^2}\right)}.\label{Eqn:BC:SISO:OuterBound:e}
    \end{align}
\end{subequations}
式中，不等式\eqref{Eqn:BC:SISO:OuterBound:d}是根据熵功率不等式，以及对于给定方差$ \var{Q} $的任意随机变量$ Q $，有$ h\left(Q\right)\leq \frac{1}{2}\log_2{2\pi e \var{Q}} $；不等式\eqref{Eqn:BC:SISO:OuterBound:e}是由于$ g_i^2\geq 0 $且$ 2^{2h\left(X_j\right)}\geq 0 $，去掉对应各项化简得到。

因此，可见光广播信道可达速率域的外界可以表示为
\begin{align}
    \begin{cases}
    R^{\mathrm{BC,SISO}}_1 &\leq \frac{1}{2}\log_2{ \left(1+\frac{g_{i}^2\varepsilon}{\sigma^2}\right)},\\
    &\vdots\\
    R^{\mathrm{BC,SISO}}_K &\leq\frac{1}{2}\log_2{ \left(1+\frac{g_{i}^2\varepsilon}{\sigma^2}\right)}.
    \end{cases}
\end{align}